Como o CharlieRB salientou, só porque as luzes se acendem não significa que a bateria esteja bem. **No entanto, há algumas outras coisas que poderiam ser.
Pode ser que a bateria esteja bem, mas não esteja a ser carregada suficientemente pelo alternador. Pode também ser que a bateria e o alternador estejam bem, mas que se possa ter o que se chama queda de voltagem . Isto significa que o fio entre a bateria e o motor de arranque está a desenvolver alta resistência por alguma razão, e não está a permitir amperes suficientes para chegar ao motor de arranque. Poderá também ter um problema com o motor de arranque.
Se realmente quiser descobrir isto por si próprio, deve sair e obter um multímetro barato. Basicamente, deve ver 12,65 volts com o carro desligado, e mais de 14 volts com o carro em funcionamento e sem cargas ligadas. Também deve observar o multímetro enquanto outra pessoa manivela o carro e ver que a voltagem não desce abaixo de cerca de 10 volts enquanto o carro manivela. Se essas coisas estiverem OK, fazer um teste de queda de voltagem . Ligue o condutor vermelho à bateria positiva, e o condutor preto à extremidade oposta do cabo que vai para o arranque e iirc não deve ver nada maior do que cerca de 0,7 volts.
Aqui está um bom vídeo sobre testar uma bateria com um multímetro .
Também pode ser um problema de arranque, sobre o qual pode ler aqui .